Dershanemize Hoş Geldiniz…

Önermeler Mantığı

Formel sistemler şu elemanlardan meydana gelir:

1. Tanımlanmamış terimler
2. Tanımlar
3. Türetme kuralları
4. Aksiyomlardır
5. Teoremler

Formel mantığın tanımlanmamış terimleri olarak, basit önerme (P)

ve mantıksal bağlar (değil, ve, veya, eğer-ise, eğer ve ancak-ise) gösterilebilir.
Tanımlanan terimlere örnek olarak bileşik önerme kavramını gösterilebilir.

Aslında yukarıda verilen mantıksal bağlar bir tek mantıksal

bağ yardımıyla tanımlanabilir.

Önerme

Aşağıdaki cümleler önermelere örnektir: Bugün hava güneşlidir. 3 asal sayıdır.

Duygu 21 yaşındadır. 3 asal sayı değildir. Duygu 21 yaşında değildir.

Bir gün 4857292 saattir.

Mantıksal bağlar kullanarak basit önermelerden başka önermeler kurulabilir,

ki bunlara “bileşik önermeler” denir.Önerme matematikte kesin bir

hüküm bildiren ifadelere denir. Olumsuzu Bir önerme “değil” eki ile

karşıt ifadeye çevrilebilir; buna değilleme denir. Örnek: “bu gün günlerden salı:

Bu gün günlerden salı degil.

Birleşim İki veya daha fazla önermeden “ve” mantıksal bağını kullanarak

bileşik önermeler kurulabilir. Örnek olarak: “Bu gün hava açık ve sıcak”

cümlesini verilebilir. Doğal dilde bazen “fakat” bağlacını da kullanıyoruz.

Örnek: “bugün gemiler 9′da ve 10.da sefer yapacak.” değili A’ olarak gösterilir

Ayrılım İki veya daha fazla basit önermeden “veya” (ya da) mantıksal bağını

kullanarak bilesik önermeler kurulabilir. Örnek: “Bugün Arçelik veya Teletaş’tan

ziyaretçiler gelecek.”

Şartlı cümle Aynı şekilde, iki veya daha fazla sayıda önermeden (eğer-ise)

bağını kullanarak şartlı önermeler kurulabilir. Örnek: “Eğer yağmur yağıyor ise,

hava bulutludur.” Bazen “eğer-ise” bağı yerine doğal dilde “gerektirir”

bağını da kullanabiliyoruz. Örnek: “Yağmurun yağıyor olması havanın

bulutlu olmasını gerektirir.”

Çift şartlı önermeler Yine, “eğer ve ancak-ise” bağını kullanarak

birden fazla önermeden çift şartlı önermeler kurulabilir. Bu tür önermeler

doğal dilde daha az kullanılmasına rağmen, fizik ve matematikte sık sık

kullanılmaktadır. Örnek: “Eğer ve ancak çalışanlar ücretlerde aşırı artış

talep ederlerse enflasyon düşmez.” Aynı cümle şu şekilde de ifade edilebilir:

“Eğer, çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez, ve

eğer enflasyon düşmezse çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederler.”

Cebirde olduğu gibi, sembolik veya matematiksel mantıkta da,

önermeler yerine önermesel değişkenler kullanılır (P, Q, R, S, T harfleri gibi).

Mantıksal bağlar Mantıksal bağlar şu sembollerle gösterilir:

: değil : ve : veya : eğer-ise : eğer ancak-ise Böylece şu

ifadeler, önermesel formüller olacaktır:

, , , , Örnek: ”

Eğer sendika veya fabrika yöneticileri inada devam ederlerse,

grev ancak hükümet bir kararname çıkarır ve fabrikaya polis

göndermezse önlenir.” P: Sendika inada devam eder Q: Fabrika

yöneticileri inada devam eder R: Grev önlenir S:

Hükümet kararname çıkartır T: Hükümet fabrikaya polis göndermez

Doğruluk cetvelleri Mantıkta önermeler doğru ya da yanlış olabilir, fakat hem doğru hem yanlış olamaz. Bir önermeye yüklenen bu “doğru” ve “yanlış” yüklemlerine onun “doğruluk değeri” denir. Buna göre, şimdi şu önermesel formüllerin doğruluk değerlerini irdeleyelim:

, , , , “

Değil” sözcüğünün anlamından hareketle, eğer bir P önermesi

doğru ise onun değillemesi,

yani yanlıştır, ve bunun tersi. Mesela, P önermesi

“Ay dünyanın uydusudur” cümlesi yerine geçiyorsa,

bunun değillemesi olan yanlıştır.

Gene, kural olarak iki veya daha fazla önermenin birleşimi,

ancak birleşen bütün önermelerin doğru olması halinde doğrudur.

Mesela, “3 asal sayıdır ve 2+2=5′tir” yanlış bir bileşik önermedir.
Yine kural olarak, ayrık önermelerin doğru olabilmesi için

bileşenlerden birinin doğru olması yeterlidir. Ayrık önermeler

ancak bunları meydana getiren bileşenlerin hepsinin birden

yanlış oldugu halde yanlış sayılır.
Bileşik önermeler için doğruluk tabloları şu şekilde verilebilir:
P Q
D D
Y D D D D D Y
Y Y D Y Y Y D
D Y D D Y Y Y
D Y Y D D D: doğru, Y: yanlış

Eşdeğerlikler



Karşıtlıklar

TotolojiBir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk

cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “doğru”

çıkıyorsa, bu önermesel formüle “totoloji” denir. ÇelişkiBir önermesel

formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son

değerlendirme sütunundaki bütün değerler “yanlış” çıkıyorsa bu

önermesel formüle “çelişki” denir. Bazen doğrulukBir önermesel

formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son

değerlendirme sütunundaki değerlerden bazıları “doğru” bazıları

“yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “bazen doğru” denir.

TutarlılıkBir bileşik önermeye “ve” ekiyle başka bir önerme

eklendiği zaman bir çelişki ortaya çıkmıyorsa, eklenen önerme

öncekiyle tutarlıdır denir. GeçerlilikBir A1, A2, …,

An önerme dizisindeki bütün A’lar doğru olduğu zaman

bir B hükmü de doğru oluyorsa B’ye A1, A2, …,

An önermelerinin geçerli sonucudur denir. Geçerlilik

şu şekilde gösterilir: A1, A2, …, An |= B. Mantıksal İçerikBir

bileşik önermeyi yanlış yapan şartların sayısının bütün şartların

sayısına oranı ne kadar büyükse, o önermenin mantıksal içeriği o

kadar fazladır. Çelişkinin mantıksal içeriğinden bahsedilemez

(çünkü yoktur.).(–>bu durumda çelişki için mantıksal içerik 1/1

olması beklenir. buna göre ilk cümle ile bahsedilen tanım tersi

olarak düşünülmesi gerekmektedir =>düzeltmedir, şayet hata yok ise siliniz?)

admin tarafından yazılmıştır \\ etiketler: Önermeler Mantığı